جبر اولى ثانوى التلرم الثانى

]الفصل الأول : معادلة الدرجة الثانية متغير واحد

المعادلة التى على الصورة : ا س۲ + ب س + حـ = 0 لها طريقتا ن للحل
( اولا ) طريقة التحليل :

مثال ( 1 ) أوجد جذرى المعادلة : س۲– 5 س + 6 = 0
الحل : - ∴ ( س - 3 ) ( س – 2 ) = 0
∴ س = 3 ا، س = 2
∴ جذرى المعادلة هما : 3 ، 2

مما سبق نلاحظ أن
∵ س = 3 أحد جذرى المعادلة س2 – 5 س + 6 = 0
( 1 ) د ( 3 ) = 0
( 2 ) ( س - 3 ) أحد عوامل المقدار س2 – 5 س + 6 = 0
( 3 ) أى ان : ( س - 3 ) ( س – 2 ) = س2 – 5 س + 6
______________________________________________

( ثانيا ) القانون العام لحل المعادلة التربيعية هو : -

أوجد جذرى المعادلة : س2 – 5 س + 6 = 0
ا = 1
س = - ب ± \ ب2-4 ا جـ ب = - 5
2 ا جـ = 6

س = - (-5 ) ± \(-5)2-4×1×6 = 5 ± 1
2 ×1 2

س = 5 + 1 = 3 أو س = 5 - 1 = 2
2 2

∴ جذرى المعادلة هما : 3 ، 2
أمثلة محلولة ( أولا ) اوجد قيمة م والجذر الآخر إذا علم أن : -

( 1 ) س = - 2 أحد جذري المعادلة س2 + م س – 2 = 0

الحل : - ∵ س = - 2 أحد جذري المعادلة س2 + م س – 2 = 0
∵ د ( - 2 ) = 0 ⇐ (- 2 )2 + م ( - 2 ) – 2 = 0
⇐ 4 - 2 م - 2 = 0 ⇐ 2م = 2 ⇐ م = 1
⇐المعادلة تصبح: س2 + س – 2 = 0 ⇐ ( س + 2 ) ( س – 1 ) = 0
⇐ س = - 2 ، س = 1 ( الجذر ألآخر )
________________________________________

( 2 ) س = 6 أحد جذري المعادلة م س2 + م س – 42 = 0

الحل : - ∵ س = 6 أحد جذرى المعادلة م س2 + م س – 42 = 0
⇐ د ( 6 ) = 0 ⇐ م (6 )2 + م (6 ) – 42 = 0
⇐ 36 م + 6 م – 42 = 0 ⇐ 42 م = 42 ⇐ م = 1
المعادلة تصبح : س2 + س –42 = 0 ⇐ ( س + 7 ) ( س – 6 ) = 0
⇐ س = 6 ، س = -7 ( الجذر ألاخر )

( 3 ) س = 3 أحد جذرى المعادلة س2 + م س – 9 = 0

الحل : - ∵ س = 3 أحد جذرى المعادلة س2 + م س – 9 = 0
⇐ د ( 3 ) = 0 ⇐ (3)2 + م ( 3 ) – 9 = 0
⇐ 9 + 3 م - 9 = 0 ⇐ 3م = 0 ⇐ م = صفر
⇐ المعادلة تصبح : س2– 9 = 0
⇐ ( س + 3 ) ( س – 3 ) = 0
⇐ س = 3 ، س = -3 ( الجذر ألاخر )



( ثانيا ) أوجد قيمة م ، ن إذا علم أن

(1) 2 ، 3 هما جذرا المعادلة : م س2 + ن س + 6 = 0
الحل : - ∵ س = 2 أحد جذرى المعادلة م س2 + ن س + 6 = 0
∴ د( 2 ) = 0 ⇐ 4 م + 2 ن + 6 = 0 ÷ 2 ⇐ 2 م + ن + 3 = 0 (1 )
∵ س = 3 أحد جذرى المعادلة : م س2+ ن س + 6 = 0
⇐ 9 م + 3 ن + 6 = ÷ 3 ⇐ 3 م + ن + 2 = (2 )
بطرح المعادلة ( 1 ) من المعادلة (2 ) ينتج أن :
م – 1 = 0 ⇐ م = 1 بالتعويض فى المعادلة رقم (2 )
⇐ 3 م + ن + 2 =0 ⇐ 3 + ن + 2 = 0 ⇐ ن = - 5

(2) 3 ، - 3 هما جذرا المعادلة : س2+ م س + ن = 0
الحل ∵ س = 3 أحد جذرى المعادلة : س2 + م س + ن = 0
⇐ د ( 3 ) = 0 ⇐ ( 3 )2 + 3 م + ن = 0 ⇐ 9 + 3 م + ن = 0 (1 )
∵ س = - 3 أحد جذرى المعادلة : س2 + م س + ن = 0 ⇐ د (- 3 ) =0
⇐ (- 3 )2 - 3 م + ن = 0 ⇐ 9 - 3 م + ن = 0 (2 )
بجمع (1 ) ، ( 2 ) ⇐ 2 ن = - 18 ⇐ ن = - 9
بالتعويض فى المعادلة رقم (1 ) ⇐ 9+ 3 م - 9 = 0 ⇐ م = 0

نوع جذرى المعادلة _

للتعرف على نوع جذرى المعادلة ا س2 + ب س + حـ = 0 نوجد

(1 ) المميز ب2– 4 ا حـ > 0 ( + ) يكون للمعادلة جذران حقيقيان مختلفان (2 ) المميز ب2– 4 ا حـ = 0 يكون للمعادلة جذران حقيقيان متساويان (3 ) المميز ب2– 4 ا حـ = < 0 ( - ) لا يكون للمعادلة جذران حقيقيان






أبحث نوع جذرى المعادلات الأتية : -

(1 ) س2 – 3س -7 =0
الحل : - ∵ ا = 1 ، ب = - 3 ، جـ = - 7
⇐ المميز = ب2– 4 ا حـ = ( - 3 )2 – 4 × 1× – 7 = 37 > 0
⇐ المميز موجب ⇐ المعادلة لها جذران حقيقيان مختلفان

(2 ) 4 س2– 20 س = - 25
الحل : - ∵ 4 س2– 20 س + 25 =0
ا = 4 ، ب = - 20 ، جـ = 25
∵ المميز = ب2– 4 ا حـ = ( - 20 )2 – 4 × 4× 25 = 0
⇐ المميز =0 ⇐ المعادلة لها جذران حقيقيان متساويان

( 3 ) س2 = 2 س – 5
الحل : - ∵ س2 – 2 س + 5 = 0
ا = 1 ، ب = - 2 ، جـ = 5
∵ المميز = ب2– 4 ا حـ = ( - 2 )2– 4× 1× 5 = - 16 < 0
⇐ المميز سالب ⇐ المعادلة ليس لها جذران حقيقيان مختلفان ولا جذور حقيقية

( 4 ) ( س – 1 ) ( س – 7 ) = 2 ( س – 3 ) ( س - 4 )

الحل : - ∵ س2 – 8 س + 7 = 2 س2– 14 س + 24
⇐ 2 س2– 14 س + 24 - س2 + 8 س - 7 = 0
⇐ س2 – 6 س + 17 = 0
ا = 1 ، ب = - 6 ، جـ = 17
⇐ المميز = ب2– 4 ا حـ = (- 6)2 - 4 × 1× 17 = - 32 < 0
⇐ المميز سالب ⇐ المعادلة ليس لها جذران حقيقيان مختلفان ولا جذور حقيقية



(5 ) إذا كان جذرا المعادلة 18 س2 – م س + 8 = 0 متساويان اوجد قيمة م العددية
∵ المميز = ب2– 4 ا حـ = (- م )2- 4 × 18 × 8 = م2 - 576
∵ الجذرين متساويان ⇐ المميز = م2 - 576 =0
⇐ م2 = 576 ⇐ م = ± 24

(6 ) أذا كان ا ، ب عددين نسبيين فأثبت جذرى المعادلة ا س2+ ب س + ب – ا = 0 نسبيين

الحل: ∵ المميز = ب2– 4 ا حـ = ( - ب )2 - 4 × ا × ( ب – ا )
⇐ المميز = ب2 - 4 ا ب + 4 ا2 = ( ب – 2 ا )2 ( دائما قيمة موجبة )
⇐ المميز = دائما قيمة موجبة ⇐ المعادلة لها جذران حقيقيان مختلفان

(7 ) إذا كان ل ، م ، ن أعداد حقيقية فأثبت أن جذرى المعادلة : -
س2 + 2 ل س + ل2 – م2 – ن2= 0 حقيقيان مختلفان

الحل : ∵ المميز = ب2– 4 ا حـ = (2 ل )2- 4 × 1 × ( ل2 – م2 – ن2)
⇐المميز = 4 ل2 - 4 ل2 + 4 م2 + 4ن2 = 4 م2 + 4ن2
⇐ المميز = دائما قيمة موجبة ⇐ المعادلة لها جذران حقيقيان مختلفان

تدربيات : - (أولا) أوجد جذرى المعادلات الاتية : -
(1) 3 س2 – 8س +5 =0 (2 ) س2 +5س - 6 =0
(3) 2 س2 – 9س + 7 =0 (4 ) س2+3 س + 1=0
(5) س2– 8س +6 =0 (8 ) 5س2 - س - 7 = 0

(ثانيا ) اوجد قيمة ل والجذر الآخر اذا علم أن : -
(1) س = - 2 أحد جذرى المعادلة س2 + ل س – 4 = 0
(2) س = 6 أحد جذرى المعادلة س2 - 5س + ل = 0
(3) س = 2 أحد جذرى المعادلة ل س2 - 5س + ل = 0


( ثالثا ) أوجد قيمة ل ، م إذا علم أن : -
(1) 2 ، 3 هما جذرا المعادلة : ل س2+ م س + م + 1 = 0
(2 ) 5 ، -3 هما جذرا المعادلة : س2 + ل س + م = 0
(3 ) 5 ، - 5 هما جذرا المعادلة : س2 + ل س + م = 0
( رابعا ) أبحث نوع جذرى المعادلات الأتية : -

(1) س2 -3س +5 =0 (2) 2س2 + 4س +7 =0
(3) س (2 س - 1) = 8 (4) س – 11 – س ( س – 6) = 0
( 5) س - 2 = 4 حيث س ≠ 0
س – 1
( 6 ) س – 5 = س + 4 حيث س ∉ { -6 ، 4 }
س + 6 2س – 8
(7) أذا كان جذرا المعادلة: 2س2 +5 س + 4 م =0 متساويان أوجد قيمة م
( 8 ) أوجد قيمة م التى تجعل المعادلة : 75 س2 + 7م س + 3 = 0 متساويان

( 9 ) أثبت أنة لجميع قيم ل ، م الحقيقية يكون جذرا المعادلة :
( س – ل) ( س - م) – 5 = 0 حقيقيين

العلاقة بين جذرى المعادلة التربيعية ومعاملاتها

إذا كان ل ، م هما جذرا المعادلة : ا س2 + ب س + حـ = 0
(1) ل + م = أي آن مجموع الجذرين = -
(2) ل × م = أ ى ان حاصل ضرب الجذرين = 2
(3) يمكن تكوين المعادلة التربيعية على الصورة : -
س2 - ( ل + م ) س + ل × م = 0

س2 - (مجموع الجذرين ) س + حاصل ضرب الجذرين = 0



أمثلة محلولة : -
( أولا) عين مجموع الجذرين وحاصل ضرب الجذرين فى المعادلات ألآتية
( 1 ) 3س2 + 5س -4 = 0 ا = 3
مجموع الجذرين = - 2 = ب = 5
حاصل ضرب الجذرين = 2 = جـ = -4
( 2 ) 4س2- 9 = 0 ا = 4
مجموع الجذرين = 2 = صفر ب = 0
حاصل ضرب الجذرين = - 2 = 000 جـ = -9
(3 ) ( 2 س + 5 ) (3 س – 2 ) = 0




أمثلة : كون المعادلة التي جذراها : (1 ) -9 ، 3
⇐ مجموع الجذرين = ل + م = -9 + 3 = -6
⇐ حاصل ضرب الجذرين = ل × م = -9 × 3 = - 27
يمكن تكوين المعادلة التربيعية على الصورة : -
س2 - ( ل + م ) س + ل × م = 0
⇐ س2 - ( -6) س + ( - 27 ) = 0 ⇐ س2 + 6 س – 27 = 0

(2 ) -4 ، 4
⇐ مجموع الجذرين = ل + م = -4 + 4 = صفر
⇐ حاصل ضرب الجذرين = ل × م = -4 × 4 = - 16
يمكن تكوين المعادلة التربيعية على الصورة : -
س2 - ( ل + م ) س + ل × م = 0
س2 - (صفر) س + ( - 16 ) = 0 ⇐ س2 – 1 = 0


(3 ) (4 + 3 7 ) ، (4 - 3 7 )

الحل : - ∵ مجموع الجذرين = 4 + 3 7 + 4 - 3 7 = 8
∵ حاصل ضرب الجذرين = (4 + 3 7 )(4 - 3 7 ) = 16 – 18 = - 2
المعادلة هي : س2 - 8 س – 2 = 0
( 4 ) ( ل + م ) ، ( ل - م )
⇐ مجموع الجذرين = ل + م + ل – م = 2 ل
⇐ حاصل ضرب الجذرين = ( ل + م ) × ( ل - م ) = ل 2 - م 2
∴ المعادلة هى : س2 - 2م س + ل 2 - م 2 = 0

(7 ) أوجد قيمة ك فى كلا مما يأتى التى تجعل : -
(أولا) أحدجذرىالمعادلة (ك - 1) س2 - ( 3- ك ) – 8 = 0 هومعكوس جمعى للأخر

الحل : بفرض أن الجذرين هما ل، - ل ⇐ مجموع الجذرين = صفر
⇐ ( 3- ك ) = صفر ⇐ 3- ك = صفر
( ك - 1 ) 1 ⇐ ك = 3

(ثانيا) أحدجذرىالمعادلة : ك س2 - 12 س + 4 = 0 هو معكوس ضربى للأخر
الحل : بفرض أن الجذرين هما ل ، ⇐ حاصل ضرب الجذرين = 1
⇐ 4 = 1
ك 1 ْ⇐ ك = 4

(6) فى المعادلة : ( ك – 3 ) س2 - ( ك - 1 ) س – 5 = 0
أوحد قيمة ك حيث ( أولآ) مجموع الجذرين = 3

( ك - 1 ) = 3
∵ مجموع الجذرين = 3 ⇐ ( ك – 3 ) 1
⇐ 3 ( ك – 3 ) = ك - 1 ⇐ 3 ك – 9 = ك - 1
⇐ 3 ك - ك =9 - 1 ⇐ 2 ك = 8 ⇐ ك = 4

( ثانيا ) حاصل ضرب الجذرين = -5
الحل : - ∵ حاصل ضرب الجذرين = -5
⇐ - 5 = - 5 ْ
ك – 3 1
⇐ - 5 ( ك – 3 ) = - 5 ⇐ -5 ك + 15 = -5
⇐ -5 ك = - 20 ⇐ ك = 4


(7 ) أوجد قيمة م التى أحد جذرى المعادلة س2 - م س + 2م – 4 = 0
أربعة أمثال ألجذر الأخر ؟

الحل : - بفرض أن الجذرين هما ل ، 4 ل ⇐ مجموع الجذرين = م
⇐ ل + 4 ل = م ⇐ 5 ل = م 0000000 ( 1 )
حاصل ضرب الجذرين = 2 م – 4 ⇐ ل ×4 ل = 2م – 4
⇐4 ل2 = 2 م – 4 ⇐ 4 ل2 = 2 ×( 5 ل) – 4
⇐ 4 ل 2 - 10 ل + 4 = 0 ÷ 2
⇐ 2 ل 2 - 5 ل + 2 = 0 ⇐ ( 2 ل - 1 ) ( ل – 2 ) = 0
⇐ 2 ل = 1 ⇐ ل = 2 بالتعويض × (1) ⇐ م = 2
او ل = 2 بالتعويض × (1) ينتج أن م = 5 × 2 ⇐ م = 10

(8 ) إذاكان ل ، م هما جذرا المعادلة : س 2 - 2 س -1 =0
اوجد المعادلة التى جذراها : (اولا) ل + 3 , م + 3
(ثانيا) ، ( ثالثا ) ،
________________ الحل _____________________

ل + م= 2 , ل م = -1
( أولا ) مجموع الجذرين = ل + 3 + م + 3 = ل + م + 6 = 2 + 6 = 8

حاصل ضربهم = ( ل + م ) ( م + 3 ) = ل م +3 ل + 3 م +9

= ل م + 3 (ل + م ) + 9= - 1+ 3 (2) + 9 = 14
∴ المعادلة هى س2- 8 س + 14 =
(ثانيا) مجموع الجذرين = + = = -2
حاصل ضربهم = × = = -1
∴ المعادلة هى س2 +2 س – 1 = 0
(ثالثا) مجموع الجذرين = + = ل2 + م2
ل
= (ل + م )2– 2 ل م = (2)2 - 2 × - 1 = 6 = -6
ل م -1 -1
حاصل ضربهم = × = 1
المعادلة هى س2 +6 س + 1 =0

(9) اذا كان الفرق بين جذرى المعادلة : س2 -2ء س + 3 = 0 يساوى 2 اوجد قيمة ء

الحل :- نفرض ان الجذرين هما ل ، م
ل + م = -2ء ، ل م = 3
∵ ل – م = 2 بالتربيع
⇐ ( ل - م )2 = 4 ⇐ ( ل + م )2 - 4 ل م = 4
⇐ ( - 2ء ) 2 -4×3 = 4 ⇐ 4ء2-12 = 4
⇐ 4ء2 = 16 ⇐ ء2= 4 ⇐ ء = ± 2

(11)اذا كان ل,م هما جذرى المعادلة س2 + س- 5=0 كون المعادلة التى جذراها ل3، م3

الحل : - ل + م = -1 ل م = -5
مجموع الجذرين= ل3 + م3= (ل + م)3 - 3ل م (ل + م)
= (-1)3 - 3(-1)×-5 = -1 -15 =- 16
حاصل ضربهم = ل3م3 =( ل م)3 =(-5)3=-125
∴ المعادلة هى س2+16س -125=0

ملاحظات هامة * ل2 + م2 = ( ل + م)2 -2 ل م
* (ل – م)2 = (ل + م)2 -4 ل م
* ل3+م3 = (ل +م )3- 3 ل م (ل +م )

تمرين : -
(أولا) اوجد مجموع الجذرين وحاصل ضربهم لكل من المعادلات الأتية
(1) 7 س2 -3 س – 2= 0 (2) 2 س2 - 7 = 0
(3) 3س2 + 5 = 4 س (4) (2 س – 7) (3 س + 5)= 0

(5) 4 س + 1 = 3 س - 4 حيث س ∉ { -6 ، 2 }
س - 2 س + 6

( ثانيا ) كون معادلة الدرجة الثانية و التى جذراها
3 ، 7
(1) -7 ، 5 (2) 9 ، -9 (3) 5 9

(4) (7 + 2 5 ) (7 - 2 5 ) (5) 1 + ، 1 -

(ثالثا) اوجد قيمة م التى تجعل : -
(1)أحد جذرى المعادلة 2 س2 + (م - 2 ) س – 7 = 0 هو المعكوس الجمعى للجذر الاخر
(2) أحد جذرى المعادلة 2 م س2 + 7 س + م 2 + 1 =0 هو المعكوس الضربى للجذر الاخر
(3) احد جذرى المعادلة س2 - م س + م + 2 =0 ضعف الجذر الاخر
(4) مجموع جذرى المعادلة (م – 2 ) س2 + (م - 3 ) س – 4 = 0 يساوى 3
(5) احد جذرى المعادلة س2 - م س + 8 =0 يزيد عن الاخر بمقدار 2
(6) اذاكان ل , م هما جذرا المعادلة س2 - 6 س – 10 = 0 اوجد المعادلة التى جذراها
(ا ) ل + 2 ، م + 2 (ب) ل – 3 ، م – 3
(جـ) ، - (ء) ل2 , م2 (هـ) ،

(7) اذاكان الفرق بين جذرى المعادلة 6س2 - 7 س + 1 = جـ هو اوجد قيمة جـ


إشارة المقدار الجبرى
معنى اشارة الدالة د (س) = ا س2 + ب س + جـ
(1) متى تكون د (س) = صفر
(2) متى تكون د (س) > 0 (موجبة )
(3) متى تكون د ( س) < 0 (سالب)

(اولا) الدالة الثابتة أى عندما ا = ب = 0 ⇐ د (س)= جـ
وتكون إشارة الدالة مثل جـ (1) ابحث إشارة الدالة د (س)= 3
الحل ∵ د (س)= 3 ∴ إشارة الدالة دائما مثل اشارة الثابت
∴ إشارة الدالة دائما موجبة

(2) ابحث إشارة الدالة د (س)= – 5 ∵ د (س)= ثابتة
⇐ إشارة الدالة دائما مثل اشارة الثابت ⇐ إشارة الدالة دائما سالبه

(ثانيا) الدالة الخطية عندما ا = 0 تكون د (س)= ب س + جـ
(1) ابحث اشارة الدالة د (س)= 2 س - 6
الحل ∵ د (س)= صفر ⇐ 2 س – 6 = 0 ⇐ 2 س = 6 ⇐ س = 3
⇐ د (س) = صفر عندما س = 3
⇐ د(س) > 0 عندما س > 3 (مثل إشارة ب = 2 )
⇐ د (س) < 0 عندما س < 3 (عكس إشارة ب = 2 )

(2) ابحث اشارة الدالة د (س) = 2 - س
الحل ∵ د (س)= صفر ⇐ 2 – س = 0 ⇐ س = 2
د (س) = 0 عندما س = 2
د(س) >0 عندما س < 2 (مثل إشارة ب = -1 )
د(س) < 0 عندما س > 2 (عكس إشارة ب = -1 )

(ثالثا) الدالة التربيعية : عندما ا ≠ 0 اى ان د (س)= ا س2 + ب س + جـ
(1)ابحث اشارة الدالة د (س)= س2 - 7 س + 10
الحل ∵ د (س ) =0 ⇐ س2 - 7 س + 10 = 0
⇐ (س – 2) (س – 5) = 0 ⇐ س = 2 , س = 5

+ + + + 5 - - - - 2 + + + + س

مثل إشارة س2 0 عكس إشارة س2 0 مثل إشارة س2 د (س)

د(س) = 0 عندما س ϶ { 2 , 5 }
د(س) < 0 عندما س ϶ ] 2 ، 5 [
د(س) > 0 عندما س ϶ ح - [ 2 ، 5 ]
(2) ابحث اشارة د (س) = 4 – 3 س – س2
الحل ∵ د (س) = 0 ⇐ 4 - 4 س – س2 =0
⇐ - س2 - 3 س + 4 = 0 ⇐ س2 + 3 س -4 = 0
⇐ ( س + 4) (س – 1 ) = 0 ⇐ س + 4= 0 , س – 1 =0
⇐ س = - 4 , س = 1

- - - - 1 + + + + -4 - - - - س

مثل إشارة س2 0 عكس إشارة س2 0 مثل إشارة س2 د(س)

د(س) = 0 عندما س ϶ { -4 , 1 }
د(س) > 0 عندما س ϶ ] – 4 ، 1 [
د(س) < 0 عندما س ϶ ح - [-4 , 1 ]

(3) ابحث اشارة الدالة : د (س) = س2 - 10 س + 25
الحل ∵ د (س) = س 2 - 10 س + 25 =0
⇐ (س – 5) (س – 5 ) = 0 ⇐ س – 5 = 0 ⇐ س = 5

+ + + + 5 + + + + س

مثل إشارة س2 0 مثل إشارة س2 د (س)

⇐ د (س) = 0 عندما س ϶ { 5 }
⇐ د(س) > 0 عندما س ϶ ح – { 5 }

(4) ابحث اشارة الدالتين ( ا ) د (س)= س2 + 2 س + 7
الحل ∵ د (س) = 0 ⇐ س2 +2 س +7 =0
ا = 1 ، ب = 2 ، جـ = 7
∴ المميز = ب2 - 4 ا جـ = (2)2-4 ×1×7 = - 24 >0
∵ المميز سالب ∴ المعادلة ليس لها حلول حقيقية
⇐ اشارة الدالة دائما موجبة ( مثل اشارة س2)

( ب) د(س)= س – س2 - 5 = 0
∵ د (س) = 0 ⇐ - س2 + س -5 = 0
ا = -1 ، ب = 1 ، جـ = -5
∴ ب2- 4 ا جـ = ( 1) 2-4 ×( -1×-5) = -19 < 0
∵ المميز سالب ⇐ اشارة الدالة دائما سالبة( مثل اشارة س2)








شكل (1) شكل (2) شكل (3)
المميز > 0 المميز = 0 المميز < 0



تمارين
ابحث اشارة الدوال الاتية :
(1) د (س)= 7 (2) د (س)= – 9
(3) د (س)= 3 س – 12 (4) د (س)= 7 – 2 س
(5) د (س)= 2 س (6) د (س)= - 5س
(7) د (س)= س2 - 5 س- 14 ( د (س)= 9 – 8 س – س2
(9) د (س)= س2 - 6 س + 9 (10) د (س)= 2 س – س2 - 4
(11) د (س)= س2 - 3 س + 5

(12) اذا كان د ( س ) = 2 س – 4 , ر(س) = س2 - 5 س + 4 ابحث
اشارة كل من الدالتين د , ر ثم اوجد الفترات التى تكون فيها الدالتين د , ر
موجبتين معا أو سالبتين معا ومختلفى الاشارة

(13) اذا كان د ( س ) = 4– 3 س - س2 , ر(س) = 3 س2+ 5 س - 2 ابحث
اشارة كل من الدالتين د , ر ثم اوجد الفترات التى تكون فيها الدالتين د , ر
موجبتين معا أو سالبتين معا ومختلفى الاشارة

(14 ) أرسم منحنى الدالة د : د( س ) = 1 – س 2 فى الفترة [ - 3 ، 3 ]
ومن الرسم عين أشارة الدالة

( 15) أرسم منحنى الدالة د : د( س ) = 6 س – 9 – س2 فى الفترة [ - 1 ، 7 ]
ومن الرسم عين أشارة الدالة
( 16) أرسم منحنى الدالة د : د( س ) = س2 - 4 س + 3 فى الفترة [ - 4 ، 4]
ومن الرسم عين أشارة الدالة




ثانيا : حساب المثلثات

العلاقات الاساسية بين الدوال المثلثية : -
عند اى نقطة (س ، ص ) على دائرة الوحدة يكون س 2+ ص2 = 1
( 1) جتا2 هـ + جا2 هـ = 1
جتا2 هـ = 1 - جا2 هـ او جا2 هـ = 1 - جتا2 هـ

( 2) 1 + ظا2 هـ = قا2 هـ
ظا2 هـ = قا2 هـ - 1 او قا2 هـ - ظا2 هـ = 1

(3 ) 1 + ظتا 2 هـ = قتا 2 هـ
ظتا 2 هـ = قتا 2 هـ - 1 او ظتا 2 هـ - قتا 2 هـ = 1
__________________________________________
ملاحظات هامة جدا

(1) جا س قتا س = 1 ، جتا س قا س = 1 ، ظا س ظتا س = 1

( 2 ) = ظا س ، = ظتا س

( 3 ) قتا س = ، قا س =

(4 ) جا ( 90 ْ – س ) = جتا س ، جتا (90 ْ – ص ) = جا ص

(5 ) جا (180 ْ + س ) = - جا س ، جا( 180 ْ – س ) = جا س
--------------------------------------------------------------

امثلة محلولة : أثبت صحة المتطابقات الأتية

(1 ) حا س جا(90 ْ- س ) ظا س = ا – جتا2س

الحل : الطرف الأيمن = جا س × جتا س × = جا2 س = 1 - جتا2 س


(2 ) قا2 هـ + قتا2 هـ = قا2 هـ قتا2 هـ
1 1 جتا2 هـ + جا2 هـ 1 قا2هـ قتا2هـ
جتا2هـ جا2هـ جتا2هـ جا2هـ جتا2هـ جا2هـ
-----------------------------------------------------------------------------

(3 ) ( جتا س - جا س )2 + ( جتا س + جا س )2 = 2

الطرف الايمن = جتا2س + جا2س - 2 جتا س جا س + جتا2 س + جا2س +2 جتا س جا س

= 1 + 1 = 2
------------------------------------------------------------------------------

(4 ) جاس جا (90 ْ - س ) ظا س = 1 – جتا2س

الطرف الايمن = جا س ×جتا س × = جا2س = 1 – جتا2س
-----------------------------------------------------------------------
(0 ، 1 ) = 90 ْ

كل الدوال جا + ، قتا +

( 180 ْ – هـ )


0 ْ = 360 ْ (1 ، 0 ) _____________________________________ ( - 1 ، 0 ) ط = 180 ْ

جتا + ، قا + ظا + ، ظتا +

( 360 ْ – هـ ) ( 180 ْ + هـ )


( 0 ، -1 ) = 270 ْ

حل المعادلات الأتية :

( 1 ) 2 جتا س – 1 = 0 حيث س ϶[ 0 ْ ، 2ط [
الحل : 2جتا س = 1 جتا س = 5, 0 > 0 (+)
س قياس زاوية تقع فى الربع الأول أو الربع الرابع
جتا هـ = 5, 0 ق ( هـ ) الحادة = 60 ْ
س = هـ = 60 ْ ( أول )
س = 360 ْ- هـ = 360 ْ - 60 ْ = 300 ْ ( رابع)
مجموعة الحل = { 60 ْ ، 300 ْ }
------------------------------------------
( 2 ) جا س = - 57 , 0 حيث س ϶ [ 0 ْ ، 2ط [

الحل : جا س = - 57 , 0 < 0 ( - )
س قياس زاوية تقع فى الربع الأول أو الربع الثانى
جا هـ = 57 , 0 ق ( هـ ) الحادة = 1 ً 45 َ 34 ْ
س = هـ = 1 ً 45 َ 34 ْ ْ ( أول )
س = 180 ْ - 1 ً 45 َ 34 ْ = 59 ً 14 َ 145 ْ ( ثانى )
مجموعة الحل = { 1 ً 45 َ 34 ْ ، 59 ً 14 َ 145 ْ }
---------------------------------
( 3 ) 2 جا 2س + 3 جا س – 2 = 0 حيث س ϶ [ 0 ْ ، 2ط [
الحل : 2 جا 2س + 3 جا س – 2 = 0
( 2 جا س – 1 ) ( جا س + 2 ) =0
جا س – 1 =0 او جا س + 2= 0
2جا س =1 او جا س = - 2 ( مرفوض )
جا س = 5, 0 > 0 (+)
س قياس زاوية تقع فى الربع الأول أو الربع الثانى

جا هـ = 5, 0 ق ( هـ ) الحادة = 30 ْ
س = هـ = 30 ْ ( أول )
س = 180 ْ - 30 ْ = 150 ْ
مجموعة الحل = { 30 ْ ، 150 ْ }
ملاحظة هامة جدا : جا س ، جتا س -1 ، 1
-------------------------
(4 ) جتا 2 س – جتا س = 0 حيث س ϶ [ 0 ْ ، 2ط [
الحل : جتا س ( جتا س – 1 ) = 0
إما جتا س = 0 س = 90 ْ او 270 ْ
جتا س = 1 س = 0 ْ
مجموعة الحل = { 0 ْ ، 90 ْ ، 270 ْ }
-------------------------------
(5 ) جا س – 2جا (270 ْ- س ) = 0 حيث س ϶[0 ْ ، 2ط [

الحل : جا س – 2 جا (270 ْ- س ) = 0
جا س = 2جا (270 ْ- س )
جا س = 2جتا س = 2 ظا س= 2 > 0 (+)
س قياس زاوية تقع فى الربع الأول أو الربع الثالث
ظا هـ= 2 ق ( هـ ) الحادة = 6 ً 26 َ 63 ْ
س = هـ = 6 ً 26 َ 63 ْ ( أول )
س = 180 ْ + هـ = 180 + 6 ً 26 َ 63 ْ =6 ً 26 َ 243 ْ
مجموعة الحل = { 6 ً 26 َ 63 ، 6 ً 26 َ 243 ْ }
تدربيات : - ( أولا ) أوجد مجموعة حل المعدلات ألاتية حيث س ϶ [ 0 ، 2ط [
(1) 2 جتا س +1 =0 (2) ظا س – 1 = 0
(3 ) 2 جتا2 س – 5جتا س -3 = 0
(4 ) 2 ظا2 س – ظا س – 1 = 0
(5 ) جتا س – 3 جتا (90 ْ- س ) = 0
(6 ) 2 جتا2 س – (2 + ؟ 3 ) جتا س + ؟ 3 = 0
--------------------------
( ثانيا ) أثبت صحة المتطابقت الأتية :
1 + ظا2 س 1 – ظا2 س
(1 ) ________ = ظا2 س (2 ) _________ = 2 جتا2 س - 1
1 + ظتا2 س 1 + ظا2 س

(3 ) ظا2س جا2 س + جتا2 س + 2 جا2 س = قا2 س

(4 ) ( ظا س + ظتا س )2 = قا2 س قتا2 س
(5 ) ( جاس+ جتا س + 1 ) ( جاس+ جتا س - 1 ) = 2 جاس جتاس
------------------------------------------------

(ثالثا ) إكمل مايأتى :
( 1 ) جتا س ×قتا (270 ْ + س ) ×ظا س = 0000
(2 ) (جا2 5 س + جتا2 5س )20 = 000000
(3 ) إذا كان جا2 س + جتا2 30 ْ = 1 حيث 0 ْ < س < 90 ْ فأن ق(س) = 0000

حل المثلث القائم الزاوية
* المقصود بحل المثلث القائم الزاوية هو معرفة أطوال أضلاعة وقياسات زواياة المجهولة
* ولحل الثلث القائم الزاوية يلزممعرفة إما طولا ضلعين فية أوطولا ضلع واحدوقياس
إحدى الزاويتين الحادتين 0
( أولا ) حل المثلث متى علم قياس زاوية حادة وطول ضلع :
حل المثلث ا ب جـ القائم الزاوية فى ب ، ا ب = 2 سم ، ق ( جـ ) = 38 ْ
الحل : ا ب جـ قائم فى ب
ق( ا ) = 90 ْ – 38 ْ = 52 ْ


































[ ] { } ± ϶ ∅ ⇐ ] [ ϶ { }
∴ ∵ ≃ ∩ ∪ ⊂ △ ≥ ≤
∞ ⟺ ϶ ∉ ≠


⇔ ∋ ≡ ∵ ∴ ∀ ∞ ∞